(EsPCEx 2025) - QUESTÃO

A soma de todas as raízes em [0, 2𝜋] da equação cos𝑎 + cos(3𝑎) = 0 é igual a:

[A]  2𝜋 

[B]  3𝜋 

[C]  4𝜋 

[D]  5𝜋 

[E]  6𝜋

Queremos resolver:

$$\cos a + \cos(3a) = 0$$

- Usando identidade trigonométrica

Sabemos que:

$$\cos x + \cos y = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$-

Aplicando com $x=a$ e $y=3a$:

$$\cos a + \cos 3a = 2\cos\left(\frac{a+3a}{2}\right)\cos\left(\frac{a-3a}{2}\right)$$
$$= 2\cos(2a)\cos(-a)$$

Como $\cos(-a)=\cos a$:

$$2\cos(2a)\cos(a)=0$$

- Resolver os fatores

$$\cos a = 0$$

ou

$$\cos(2a)=0$$

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- Soluções em $[0,2\pi]$

a) $\cos a=0$

$$a=\frac{\pi}{2},\; \frac{3\pi}{2}$$

b) $\cos(2a)=0$

$$2a=\frac{\pi}{2}+k\pi$$
$$a=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$$

No intervalo $[0,2\pi]$:

$$a=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$$

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- Todas as raízes

$$\frac{\pi}{4},\; \frac{\pi}{2},\; \frac{3\pi}{4},\; \frac{5\pi}{4},\; \frac{3\pi}{2},\; \frac{7\pi}{4}$$

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- Soma

$$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi}{4}+\frac{5\pi}{4}+\frac{3\pi}{2}+\frac{7\pi}{4}$$

Colocando denominador 4:

$$\frac{1\pi+2\pi+3\pi+5\pi+6\pi+7\pi}{4} = \frac{24\pi}{4} =6\pi$$