1. Definição
Um polígono diz-se
regular se tiver todos os seus lados e ângulos iguais, sejam eles
internos ou externos. Todo polígono regular pode ser inscrito em uma
circunferência.
Observação:
Polígono
convexo: Aquele em que se unirmos dois pontos quaisquer, eles jamais
passarão pelo lado de fora do polígono. Para um polígono ser
convexo, quaisquer dos pontos tem que estar dentro dessa regra.
Nomenclatura
|
Qnt
de lados
|
Soma
dos ângulos internos:
Si
= 180º (n-2)
|
Soma
dos ângulos externos
|
Ângulos
externos:
Ae
= 360º/n
|
Número
de diagonais:
Nd
= n.(n-3)/2
|
Triângulo
equilátero
|
3
|
180º
|
360º
|
120º
|
0
|
quadrado
|
4
|
360º
|
90
|
2
|
|
Pentágono
regular
|
5
|
540º
|
72º
|
5
|
|
Hexágono
regular
|
6
|
720º
|
60º
|
9
|
|
Heptágono
regular
|
7
|
900º
|
51,43º
|
14
|
|
Octógono
regular
|
8
|
1080º
|
45º
|
20
|
|
Eneágono
regular
|
9
|
1260º
|
40º
|
27
|
|
Decágono
regular
|
10
|
1440º
|
36º
|
35
|
2. Soma dos
Ângulos Internos (Si)
A
soma dos ângulos internos (Si) de um polígono de n lados é igual a
180º.(n-2), ou seja:
Si = 180º . (n – 2)
3.
Ângulo interno
O
ângulo interno (Ai) de um
polígono de n lados é igual a Si/n, ou seja:
Ai = 180º.(n-2)/n
4.
Soma dos Ângulos Externos (Se)
A
soma dos ângulos externos em qualquer polígono regular é sempre
360º
5.
Ângulo externo
O
ângulo externo (Ae) de um
polígono de n lados é igual a 360º/n, ou seja:
Ae = 360/n
EXEMPLOS
01. Qual a soma dos
ângulos internos de um polígono regular de 20 lados?
RESOLUÇÃO:
Si = 180.(n-2)
Si = 180 (20 – 2)
Si = 180 (18)
Si = 3240
RESPOSTA: 3240
02.Quantas diagonais
possui um polígono regular de 15 lados?
RESOLUÇÃO:
Nd = n(n-3)/2
Nd = 15 (15 –
3)/15
Nd = 15.12/15
Nd = 12
RESPOSTA: 12
diagonais
03.Quanto mede o
ângulo interno de um polígono regular de 13 lados?
RESOLUÇÃO:
Ai = Si/n
Ai = 180(n-2)/n
Ai = 180(13-2)/13
Ai = 180.11/13
Ai = 152º
RESPOSTA: 152,3º
04. Quanto mede o
ângulo externo de um polígono de 18 lados?
RESOLUÇÃO:
Ae = Ae/n
Ae = 360/18
Ae = 20º
RESPOSTA: 20º
05.Qual é o
polígono em que a soma das medidas dos ângulos internos é o
quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos?
RESOLUÇÃO:
Si = 4Se
180.(n-2)
= 4. 360
n – 2 = 4 . 2
n – 2 = 8
n = 8 + 2
n = 10
RESPOSTA:
decágono
06. Os números que
exprimem o número de lados de três polígonos são n – 3, n e n +
3. Determine o número de lados desses polígonos, sabendo que a soma
de todos os seus ângulos internos vale 3 240°.
RESOLUÇÃO:
S1 = ( n – 3 –
2) · 180 = (n – 5) · 180
S2 = (n – 2) ·
180
S3 = (n + 3 – 2) ·
180 = (n + 1) · 180
S1 + S2 + S3 = 3 240
(n – 5) · 180 +
(n – 2) · 180 + (n + 1) · 180 = 3 240
[n – 5 + n – 2 +
n + 1] · 180 = 3 240
3 n – 6 = 18
3 n = 24
n = 8
Teremos:
n – 3 = 8 – 3 =
5 lados
n = 8 lados
n + 3 = 8 + 3 = 11
lados
RESPOSTA:
5 lados, 8 lados e 11 lados
07.
Qual é a soma das medidas dos ângulos internos do polígono que tem
um número de diagonais igual ao quádruplo do número de lados?
RESOLUÇÃO
Nd = n(n-3)/2
Dado que Nd = 4n,
temos
n.(n-3)/2 = 4n
(Dividindo ambos os membros por n):
n - 3 = 8
n = 8 + 3
n = 11
Si = 180.(n-2)
Si = 180 (11 – 2)
Si = 180 . 9
Si = 1620º
RESPOSTA:
1620º
08.
Os números dos lados de dois polígonos convexos são consecutivos e
um deles tem 9 diagonais a mais que o outro. Que polígonos são
esses?
RESOLUÇÃO:
Polígono 1 = n
lados
Polígono 2 = (n +
1) lados
Nd 2 - Nd1 = 9
[(n + 1)(n +1 –
3)]/2 - n(n -3)/2 = 9
n² - 2n + n - 2 –
n² + 3n = 18
2n = 18 + 2
2n = 20
n = 10
Polígono 1 = 10
lados (decágono)
Polígono 2 = 11
lados (undecágono)
RESPOSTA:
decágono e o undecágono.