Seja
M o ponto médio do segmento com extremidades A (xA,yA)
e B (xB,yB). Notemos que os triângulos AMN e ABP
são semelhantes, pois possuem os três ângulos respectivamente
congruentes.
Sendo
M o
ponto médio do segmento AB
, temos:
Coordenada do baricentro de um triângulo ABC
Dados
os três pontos A(XA, YA), B(XB, YB)
e C(XC, YC) de um triângulo qualquer. As
coordenada do baricentro desse triângulo é dado por:
Exemplos:
1.
Calcule as coordenadas do ponto médio dos seguintes pontos
a)
A(1, 7) e B(11, 3)
Resolução:
(XA
+ XB)/2 = (1 + 11)/2 = 6
(YA
+ YB)/2 = (7 + 3)/2 = 5
M
(6, 5)
b)
A(-6, 9) e B( -2, -5)
Resolução:
(XA
+ XB)/2 = (-6 - 2)/2 = - 4
(YA
+ YB)/2 = (9 - 5)/2 = 2
M
(-4, 2)
2.
Os vértices de um triângulo são os pontos A(1, 2), B(5, 7) e C(4,
1). Calcule as coordenadas do baricentro desse triângulo.
Resolução:
(XA
+ XB
+ XC)/3
= (1 + 5 + 4)/3 = 10/3
(YA
+ YB
+ YC)/3
= (2 + 7 + 1)/3 = 10/3
G(10/3,
10/3)
3.
Os vértices de um triângulo são os pontos A(3, 5), B(-1, 6) e C(a,
b). Determine a e b para que o baricentro dos triângulos ABC seja o
ponto (2, 7).
Resolução:
Gx
= (XA
+ XB
+ XC)/3
2
= (3 – 1 + a)/3
6
= 2 + a
a
= 4
Gy
= (YA
+ YB
+ YC)/3
7
= (5 + 6 + b)/3
21
= 11 + b
b
= 21 – 11
b
= 10
4.
Os vértices de um triângulo são os pontos A(0, 4), B(2, -6) e C
(-4, 2). Calcule a medida da mediana AM, do triângulo ABC.
Resolução:
Cálculo
das coordenadas de M(X1, Y1) ponto médio do
lado BC do triângulo
X1
= (2 – 4)/2 = - 1
Y1
= (- 6 + 2)/2 = - 2
M(
-1, - 2)
Cálculo
do comprimento da mediana AM, sendo A(0, 4) e M(-1, - 2):
d(AM)
= √(xa
– xm)²
+ (ya – ym)²
d(AM)
= √(0
+
1)²
+ (4
+
2)²
d(AM)
= √1²
+ 6²
d(AM)
= √37
5.
Uma das extremidades de um segmento é o ponto (13, 19). Sendo M(-9,
30) o ponto médio do segmento, calcule as coordenadas do ponto B,
que é a outra extremidade do segmento.
Resolução:
(I)
(XA + XB)/2 = MX
(II)
(YA + YB)/2 = MY
(I)
(13 + XB)/2 = - 9
13
+ XB = - 18
XB
= - 31
(II)
(19 + YB)/2 = 30
19
+ YB = 60
YB
= 41
B(-31,
41)
6.
A distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do
segmento de extremos (-2,-7) e (-4, 1) é ?
Resolução:
Calculando
o ponto médio
(XA
+ XB)/2 = (-2 - 4)/2 = - 3
(YA
+ YB)/2 = (-7 + 1)/2 = - 3
M
(-3, -3)
Cálculo
da distância entre O(0, 0) e M (-3, -3):
d(OM)
= √(xm
– x0)²
+ (ym
– y0)²
d(OM)
= √(-3
- 0)²
+ (-3
- 0)²
d(OM)
= √(-3)²
+ (-3)²
d(OM)
= √9
+ 9
d(OM)
= √18
d(OM)
= 3√2
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