QUESTÃO

(UFPA) As populações A e B de duas cidades são determinadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) = log₄ (2 + t)⁵ e B(t) = log₂ (2t + 4)², nas quais a variável t representa o tempo em anos. Elas terão o mesmo número de habitantes no ano t, que é igual a:

a) 6 

b) 8 

c) 10 

d) 12 

e) 14

RESOLUÇÃO

As cidades A e B terão o mesmo número de habitantes quando A(t) = B(t).

Assim:

A(t) = B(t) → log₄ (2 + t)⁵ = log₂ (2t + 4)²

log_2² (2 + t)⁵ = log₂ (2t + 4)² → 1/2log₂ (2 + t)⁵ = log₂ (2t + 4)²

log₂ (2 + t)⁵ = 2.log₂ (2t + 4)² → log₂ (2 + t)⁵ = log₂ (2t + 4)⁴

(2 + t)⁵ = (2t + 4)⁴ → (2 + t)⁵ = [2(t + 2)]⁴

Fazendo (2 + t) = y, temos:

y⁵ = (2y)⁴ → y⁵ – (2y)⁴ = 0

y⁵ - 16y⁴ = 0

y⁴(y – 16) = 0

y = 0 e y = 16

Voltando em (2 + t) = y, obtemos:

2 + t = 0 → t = - 2 (não convém)

2 + t = 16 → t = 14

RESPOSTA: E