QUESTÃO

(FUVEST) – O número real x que satisfaz a equação log₂ (12 – 2^x) = 2x é:
A) log₂5
B) log₂ Ö 3
C) 2
D) log_2Ö 5
E) log₂3

RESOLUÇÃO

Já sabemos dos logaritmos que:
Se log _b M = c então b^c = M, para M > 0 e 0 < b ¹ 1.
No presente exercício, como log₂ (12 – 2^x) = 2x então 2 ^2x = 12 – 2^x , com a condição que 12 – 2^x seja positivo e 2x também positivo.

Observe que podemos escrever a igualdade anterior como:
(2^x)² = 12 – 2^x
Aqui vemos que 2^x aparece nos dois membros da equação; Fazendo 2^x = y (chamamos isto de mudança de variável) , teremos:
y² = 12 – y
Trata-se de uma equação do segundo grau em y.


Teremos:
y² + y – 12 = 0 uma equação da forma ax² + bx + c = 0 onde a= 1, b =1 e c = -12.

Aplicando a conhecida fórmula atribuída a Bhaskara, vem:

Então y’ = 3 e y’’ = - 4.

Observe que a raiz y’’ = - 4 não serve ao problema pois como y = 2^x , y deve ser positivo.

Logo, como y = 3, vem que 2^x = 3 de onde se conclui inevitavelmente que x = log₂3, o que nos leva à alternativa E.

RESPOSTA: E