QUESTÃO - (ESA 2006)

Seja x² + (q - 3)x - q - 2 = 0. O valor de "q" que torne mínima a soma dos quadrados das raízes da equação é:

a) 4
b) - 2
c) - 4
d) 2
e) 0

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RESPOSTA: D

RESPOSTA COMENTADA

Dada a equação: x² + (q - 3)x - q - 2 = 0

Sendo a maior que zero, ou seja, a = 1, temos que a equação assume valor mínimo. 

Temos ainda: b = (q - 3)

Sejam as raízes x' e x", então:

. Soma das raízes x' + x" = - b/a = - (q - 3)/1 = 3 - q 

. Produto das raízes x' . x" = c/a = - - 2/1 = - q - 2

Pelo quadrado da soma de dois termos, sabemos que (x' + x")² = x'² + 2x'.x" + x"² (1)

Substituindo (x' + x") e (x' . x") em (1) temos:

(3 - q)² = x'² + x"² + 2(- q - 2)

x'² + x"² = (3 - q)² - 2(- q - 2)

x'² + x"² = 9 - 6q + q² + 2q + 4

x'² + x"² = q² - 4q + 13

Assim, temos a soma dos quadrados das raízes em função de q.

Chamando a soma dos quadrado das raízes de f, temos que x'² + x"² = f(q) = q² - 4q + 13

Para que o valor de "q" torne mínima a soma dos quadrados das raízes temos a seguinte condição de f(q)

q = - b/2a (q é o valor minimante: O "x" do vértice da função).

Logo,

q = - b/2a = - (-4)/2.1 = 2

q = 2