Seja g uma função polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que g(g(x)) = 9x + 8, para todo x real. Considere a progressão aritmética 2,5, 8, ..., 44.
Pode-se afirmar que o valor numérico de g(2) + g(5) + g(8) +... + g(44) é
[A] − 1035.
[B] − 1050.
[C] − 1065.
[D] − 1080.
[E] − 1095.
Como 𝑔 é do primeiro grau e decrescente, devemos ter:
𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 < 0
𝑔(𝑔(𝑥)) = 𝑎(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑏 = 𝑎²𝑥 + 𝑎𝑏 + 𝑏
Igualando os coeficientes:
𝑎² = 9 ⇒ 𝑎 = −3
Logo, 𝑔(𝑥) = −3𝑥 − 4
O número de termos da PA é:
𝑎ₙ = 𝑎₁ + (𝑛 − 1)𝑟
44 = 2 + (𝑛 − 1)3
𝑛 = 15
A soma pedida é de uma PA:
𝑔(2) = −3𝑥 − 4 ⇒ 𝑔(2) = −10
𝑔(5) = −3𝑥 − 4 ⇒ 𝑔(5) = −19
𝑔(8) = −3𝑥 − 4 ⇒ 𝑔(8) = −28
⋮
𝑔(44) = −3𝑥 − 4 ⇒ 𝑔(44) = −136
Sn = [(a1 + an).n]/2
S15 = [g(2) + g(44)].15/2
S15 = [−10 − 136].15/2
S15 = −73.15/2 = −1095
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