(EsPCEx 2022) - QUESTÃO

Um polígono regular tem 36 diagonais passando pelo seu centro. Cada ângulo interno desse polígono mede

[A] 350º.

[B] 180º.

[C] 175º.

[D] 170º.

[E] 72º.

Resolvendo temos:

• O problema diz:

  Um polígono regular tem 36 diagonais passando pelo seu centro. Cada ângulo interno desse polígono mede quanto?

  1) Determinar o número de lados do polígono

  Para um polígono regular com $n$ lados, o número de diagonais que passam pelo centro é:

  $$\text{diagonais pelo centro} = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{se } n \text{ é par} \\ 0, & \text{se } n \text{ é ímpar} \end{cases}$$

  Por quê?

  • Cada vértice se conecta a outro vértice exatamente oposto.

  • Só existe vértice oposto se $n$ for par.

  Se há 36 diagonais passando pelo centro, então:

  $$\frac{n}{2} = 36 \implies n = 72$$

  Então o polígono tem 72 lados.

  2) Determinar cada ângulo interno

  A fórmula do ângulo interno de um polígono de $n$ lados é:

  $$\text{ângulo interno} = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$$

  Substituindo $n = 72$:

  $$\text{ângulo interno} = \frac{(72-2) \cdot 180}{72} = \frac{70 \cdot 180}{72}$$

  Calculando:

  $$70 \cdot 180 = 12600$$
  $$\frac{12600}{72}={175}^{\circ }$$