(EsPCEx 2025) - QUESTÃO

Em uma escola, foi realizada uma entrevista com 500 (quinhentos) alunos, que deveriam 

declarar se gostavam das disciplinas de Física, Matemática e Química. Verificou-se que: 

- 170 (cento e setenta) não gostavam de nenhuma das 3 disciplinas; 

- 100 (cem) gostavam das 3 disciplinas; 

- 170 (cento e setenta) gostavam de Química; 

- 180 (cento e oitenta) gostavam de Matemática;  

- 300 (trezentos) gostavam de Física; 

- 80 (oitenta) gostavam somente de Física; e  

- Nenhum aluno gostava somente de Química

De posse dessas informações, o número de alunos que gostavam somente de Matemática é igual a: 

[A]  30 

[B]  20 

[C]  40 

[D]  50 

[E]  35

Dados:

• Total de alunos = 500

• Não gostam de nenhuma disciplina = 170

• Gostam das 3 disciplinas (Física, Matemática e Química) = 100

• Gostam de Química = 170

• Gostam de Matemática = 180

• Gostam de Física = 300

• Gostam somente de Física = 80

• Nenhum gosta somente de Química = 0

Definições:

• $F$ = conjunto dos que gostam de Física

• $M$ = conjunto dos que gostam de Matemática

• $Q$ = conjunto dos que gostam de Química

Queremos encontrar o número que gosta somente de Matemática, ou seja, $|M| - |M \cap F| - |M \cap Q| + |F \cap M \cap Q|$ considerando que os alunos que gostam das 3 disciplinas estão em todas as interseções.

Passo 1: Encontrar quantos alunos gostam de pelo menos uma disciplina

Como 170 não gostam de nenhuma, então:

$$|F \cup M \cup Q| = 500 - 170 = 330$$

Passo 2: Definir as variáveis

Vamos chamar:

• $x =$ número de alunos que gostam somente de Matemática

• $y =$ número de alunos que gostam somente de Química = 0 (dado)

• $z =$ número de alunos que gostam somente de Física = 80 (dado)

Também definimos os números para interseções de dois conjuntos, sem a terceira:

• $a = |F \cap M| \text{, mas não } Q$
  

• $b = |M \cap Q| \text{, mas não } F$
  

• $c = |F \cap Q| \text{, mas não } M$
  

Sabemos que:

$$|F \cap M \cap Q| = 100$$

Passo 3: Usar as informações dadas dos conjuntos

Sabemos que:

$$|F| = z + a + c + 100 = 300$$
$$|M| = x + a + b + 100 = 180$$
$$|Q| = y + b + c + 100 = 170$$

Substituindo $z = 80$ e $y = 0$:

$$80 + a + c + 100 = 300 \implies a + c = 300 - 180 = 120$$
$$x + a + b + 100 = 180 \implies x + a + b = 80$$
$$0 + b + c + 100 = 170 \implies b + c = 70$$

Passo 4: Usar a união dos conjuntos

O total de alunos que gostam de pelo menos uma disciplina é:

$$|F \cup M \cup Q| = z + x + y + a + b + c + 100 = 330$$

Substituindo $z = 80$, $y = 0$:

$$80 + x + 0 + a + b + c + 100 = 330$$
$$x + a + b + c = 330 - 180 = 150$$

Passo 5: Resolver o sistema

Já temos:

1. $a + c = 120$
   

2. $x + a + b = 80$
   

3. $b + c = 70$
   

4. $x + a + b + c = 150$
   

Da equação 4, subtraindo a equação 2, temos:

$$(x + a + b + c) - (x + a + b) = 150 - 80 \implies c = 70$$

Com $c = 70$, da equação 1:

$$a + 70 = 120 \implies a = 50$$

Com $c = 70$, da equação 3:

$$b+70=70⟹b=0$$

Finalmente, da equação 2:

$$x + 50 + 0 = 80 \implies x = 30$$

Resposta:

O número de alunos que gostam somente de Matemática é $\boxed{30}$.