(EsPCEx 2025) - QUESTÃO

Seja 𝑓 uma função real definida por  𝑓(𝑥) = log2(𝑥² − 𝑥 − 2) − log2(𝑥² −𝑥 − 6). O valor da soma de todos os números inteiros para os quais 𝑓 não está definida é igual a: 

[A] 1 

[B] 2 

[C] 3 

[D] 4 

[E] 5 

Temos:

$$f(x)=\log_2(x^2-x-2)-\log_2(x^2-x-6)$$

A função logarítmica só está definida quando o argumento é positivo. Portanto, precisamos que:

$$x^2 - x - 2 > 0$$
$$x^2 - x - 6 > 0$$

- Resolver cada inequação

- Primeira:

$$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$$

Raízes: $x=2$ e $x=-1$

Como a parábola é voltada para cima:

$$x^2 - x - 2 > 0 \quad \text{quando} \quad x<-1 \text{ ou } x>2$$

- Segunda:

$$x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$$

Raízes: $x=3$ e $x=-2$

$$x^2 - x - 6 > 0 \quad \text{quando} \quad x<-2 \text{ ou } x>3$$

- Interseção das condições

Para que ambos os logaritmos existam:

$$(x<-1\text{ ou }x>2)\cap (x<-2\text{ ou }x>3)$$

A interseção é:

$$x<-2 \quad \text{ou} \quad x>3$$

- Onde a função NÃO está definida?

A função não está definida no complementar do domínio:

$$-2 \le x \le 3$$

- Inteiros nesse intervalo

$$-2,-1,0,1,2,3$$

Somando:

$$-2+(-1)+0+1+2+3$$

Agrupando:

$$(-2+2)+(-1+1)+0+3=3$$