(EsPCEx 2025) - QUESTÃO

Em um triângulo ABC, traçam-se as bissetrizes interna 𝐴𝐷 e externa 𝐴𝐸̅ em relação ao vértice 𝐴, conforme figura abaixo. 

Sabe-se que o perímetro do triângulo ABC mede 30 cm, o lado 𝐵𝐶̅ mede 10 cm e o segmento 𝐷𝐸̅ mede 24 cm. O valor, em cm, do módulo da diferença entre as medidas dos lados 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶̅ é igual a: 

[A]  2 

[B]  4  

[C]  6 

[D]  8 

[E]  12 

Seja $AB=x$ e $AC=y$.

- Perímetro

O perímetro do triângulo é 30:

$$AB + BC + AC = 30$$
$$x + 10 + y = 30$$
$$x + y = 20$$

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- Bissetriz interna

Pelo teorema da bissetriz interna:

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{x}{y}$$

Como $BC=10$:

$$BD=\frac{10x}{x+y}, \quad DC=\frac{10y}{x+y}$$

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- Bissetriz externa

Pelo teorema da bissetriz externa:

$$\frac{BE}{EC}=\frac{AB}{AC}=\frac{x}{y}$$

Logo:

$$BE=\frac{x}{y}EC$$

Mas

$$BE = BC + CE = 10 + CE$$

Então:

$$\frac{10+CE}{CE}=\frac{x}{y}$$ $$CE=\frac{10y}{x-y}$$

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- Segmento $DE$

$$DE = DC + CE$$
$$DE=\frac{10y}{x+y}+\frac{10y}{x-y}$$

Sabemos:

$$x+y=20$$
$$DE=24$$

Substituindo:

$$24=\frac{10y}{20}+\frac{10y}{x-y}$$ $$24=\frac{y}{2}+\frac{10y}{x-y}$$

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- Usando $x=20-y$

$$24=\frac{y}{2}+\frac{10y}{20-2y}$$

Multiplicando:

$$24(20-2y)=\frac{y}{2}(20-2y)+10y$$
$$480-48y=20y-y^2$$
$$y^2-68y+480=0$$
$$y=60 \text{ ou } y=8$$

Como $x+y=20$, fica:

$$AC=8,\quad AB=12$$

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- Diferença pedida

$$\mathrm{\mid }AB-AC\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }12-8\mathrm{\mid }=4$$