(EsPCEx 2025) - QUESTÃO

O resto da divisão do polinômio 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 1)(𝑥² − 4) é o polinômio 𝑟(𝑥). Sabendo-se que os restos das divisões de 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 1) e (𝑥² − 4) são, respectivamente, −2 e (𝑥 + 3), o valor de 𝑟(−1) é igual a:

[A]  −4 

[B]  −3 

[C]  0 

[D]  3 

[E]  4 

Ao dividir $p(x)$ por $(x-1)(x^2-4)$, o resto $r(x)$ deve ter grau menor que 3. Logo,

$$r(x)=ax^2+bx+c$$

- Resto na divisão por $x-1$

Se o resto é $-2$, então pelo Teorema do Resto:

$$p(1)=-2$$

Como $p(x)=q(x)(x-1)(x^2-4)+r(x)$, temos

$$r(1)=-2$$
$$a+b+c=-2(1)$$

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- Resto na divisão por $x^2-4$

Sabemos que o resto é $x+3$.
Logo,

$$r(x) \equiv x+3 \pmod{x^2-4}$$

Como $x^2-4=0$ quando $x=2$ ou $x=-2$:

Para $x=2$

$$r(2)=2+3=5$$
$$4a+2b+c=5 \quad (2)$$

Para $x=-2$

$$r(-2)=-2+3=1$$
$$4a-2b+c=1(3)$$

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- Resolver o sistema

(2) − (3):

$$4b=4\Rightarrow b=1$$

Substituindo em (2):

$$4a+2(1)+c=5$$
$$4a+c=3 \quad (4)$$

Substituindo $b=1$ em (1):

$$a+1+c=-2$$
$$a+c=-3 \quad (5)$$

$$3a=6 \Rightarrow a=2$$
$$c=-5$$

Assim,

$$r(x)=2x^2+x-5$$

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- Calcular $r(-1)$

$$r(-1)=2(-1)^2+(-1)-5$$
$$r(-1)=2-1-5=-4$$