(EsPCEx 2025) - QUESTÃO

Considere as retas 𝑟: 4𝑥 + 5𝑦 = 0 e 𝑠: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabendo-se que 𝑏 < 0, 𝑟 é per pendicular a 𝑠 e que a reta 𝑠 forma com os eixos coordenados um triângulo de área 10 𝑢.𝑎. (unidade de área), o valor de 𝑎 + 𝑏 é igual a: 

[A]  −21/5

[B]  25/4 

[C]  −25/4 

[D]  15/4 

[E]  −15/4 

Vamos resolver passo a passo.

Temos:

• Reta $r: 4x + 5y = 0$
  

• Reta $s: y = ax + b$, com $b < 0$
  

• $r \perp s$
  

• O triângulo formado por $s$ e os eixos tem área $10 \, \text{u.a.}$
  

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- Condição de perpendicularidade

O coeficiente angular de $r$ é:

$$4x + 5y = 0 \implies y = -\frac{4}{5}x$$

Então, $m_r = -\frac{4}{5}$.

Como $s$ é perpendicular a $r$, temos:

$$a \cdot m_r = -1 \implies a \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -1 \implies a = \frac{5}{4}$$

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- Área do triângulo com os eixos

A reta $s: y = ax + b = \frac{5}{4}x + b$ intersecta:

• Eixo $x$ em $y=0$:

$$0 = \frac{5}{4} x + b \implies x = -\frac{4b}{5}$$

• Eixo $y$ em $x=0$:

$$y=b$$

O triângulo formado pelos eixos e a reta tem vértices em $(0,0), (-\frac{4b}{5},0), (0,b)$

A área é:

$$A = \frac{1}{2} \cdot |x_\text{base}| \cdot |y_\text{altura}| = \frac{1}{2} \cdot \left| -\frac{4b}{5} \right| \cdot |b|$$

Como $b < 0$, $|b| = -b$, então:

$$10 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4(-b)}{5} \cdot (-b) = \frac{2}{5} b^2$$

Multiplicando ambos os lados por 5/2:

$$b^2 = 25 \implies b = -5 \quad (\text{pois } b<0)$$

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- Soma $a + b$

$$a + b = \frac{5}{4} + (-5) = \frac{5}{4} - \frac{20}{4} = -\frac{15}{4}$$