(EsPCEx 2025) - QUESTÃO

O módulo do número complexo 𝑧 de maior argumento, tal que |𝑧 + 50| ≤ 30 , é igual a: 

[A]  25 

[B]  30 

[C]  35 

[D]  40 

[E]  45

Temos a condição:

$$|z + 50| \le 30$$

- Interpretação geométrica

A expressão $|z + 50| \le 30$ representa todos os pontos do plano complexo cuja distância ao ponto $-50$ (no eixo real) é menor ou igual a 30.

Ou seja:

• Centro: $-50$
  

• Raio: $30$
  

É um disco fechado centrado em $-50$ no eixo real.

- O que significa “maior argumento”?

O argumento de $z$ é o ângulo que o vetor que vai da origem até $z$ forma com o eixo real positivo.

Para maximizar o argumento:

• Precisamos do ponto do disco que forma o maior ângulo possível com a origem.

• Esse ponto ocorre quando a reta que parte da origem é tangente ao círculo.

- Geometria do problema

Temos:

• Distância da origem ao centro: $50$
  

• Raio do círculo: $30$
  

Forma-se um triângulo retângulo:

• Hipotenusa: $50$
  

• Um cateto: $30$
  

• O outro cateto é o módulo de $z$ que queremos encontrar.

Pelo Teorema de Pitágoras:

$$|z|^2 = 50^2 - 30^2$$
$$|z|^2 = 2500 - 900$$
$$|z|^2 = 1600$$
$$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=40$$