(IME 2017) - QUESTÃO

Um hexágono é dividido em 6 triângulos equiláteros. De quantas formas podemos colocar os números de 1 a 6 em cada triângulo, sem repetição, de maneira que a soma dos números em três triângulos adjacentes seja sempre múltiplo de 3? Soluções obtidas por rotação ou reflexão são diferentes, portanto as figuras abaixo mostram duas soluções distintas.

a) 12 

b) 24 

c) 36 

d) 48 

e) 96

QUESTÃO - (ESAF – FUNAI – 2016)

Considere as quatro letras A, C, G e T formando pares de letras nos quais A só forma par com T e C só forma par com G. Indique quantas sequências distintas de três pares ordenados de letras e com repetição podem ser formadas.

a) 4

b) 8

c) 16

d) 32

e) 64

RESPOSTA: E

QUESTÃO

Um cubo de madeira tem uma face de cada cor. Quantos dados diferentes podemos formar gravando os números de 1 a 6 sobre essas faces? 

a) 530

b) 36

c) 120

d) 6

e) 720

RESPOSTA: E

Solução:

Se um cubo tem as 6 arestas pintadas de cores diferentes, não temos o perigo de escrevermos números em faces diferentes de uma maneira temos a mesma configuração do cubo só posicionado de uma forma diferente, com uma rotação, por exemplo. Cada numeração que colocarmos será sempre diferente por causa desse detalhe das cores pintadas nas faces.

Assim, temos 6 números para colocarmos na primeira cor. Depois disso temos só 5 números para escolher. Depois sobram 4 e assim por diante até a última cor que só teremos uma opção. Então temos um total de:

= 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

= 6!

= 720 dados

QUESTÃO

Uma classe tem 10 alunas e 5 alunos. Formam-se comissões de 4 alunas e 2 alunos. O número possível de comissões que se pode formar é:

A) 250

B) 280

C) 540

D) 604

E) 2100

RESPOSTA: E

Solução:

Pelo princípio fundamental da contagem o número de comissão será = (o número de maneira de escolher as mulheres) X (o número de maneiras de escolher os homens).

Calculo do número de maneiras de escolher as mulheres.

Temos dez mulheres para escolher 4 sem importar a ordem. [10x9x8x7]/[4x3x2x1]= 210

Calculo do número de maneiras de escolher os homens.

Temos cinco homens para escolher 2 sem importar a ordem. [5x4]/[2x1]= 10

Portanto o número possível de comissões será= 210x10=2100

QUESTÃO

Dado oito pontos distintos. Quantos segmentos de retas podem formar?

A) 25

B) 28

C) 54

D) 60

E) 70

RESPOSTA: B

Solução:

Para formar um segmento precisamos apenas de dois pontos distintos. Assim este exercício consiste em escolher dois pontos entre os oito existentes. Este é, novamente, um problema onde a ordem não importa. Pois, o segmento AB e o segmento BA é o mesmo segmento. Portanto o número de segmentos que podemos construir é = [8 x7]/[2x1] = 28

QUESTÃO

Quantas comissões constituídas de 3 pessoas podem ser formadas com 6 pessoas?

A) 20
B) 25
C) 64
D) 60
E) 80


RESPOSTA: A

Solução:
Em uma comissão não importa a ordem na qual os membros forem escolhidos e sim quais membros foram selecionados.
Portanto o número de comissões possíveis será = [6x5x4]/[3x2x1] = 20

QUESTÃO

Quantos números ímpares de três algarismos distintos podem formar os dígitos 0, 3, 5, 7, 8 e 9?

A) 120
B) 125
C) 64
D) 60
E) 80


RESPOSTA: C

Solução:

Neste problema devemos ter bastante atenção no fato de desejarmos números ímpares e com algarismos distintos. Para um número ser ímpar, este deve ser terminado por um algarismo impar. No nosso caso as possíveis terminações são {3, 5, 7, 9}, portanto, temos quatro possibilidades para finalizar o número desejado. Para iniciar o número temos quatro possibilidades, uma vez que não podemos iniciar com o algarismo que vamos finalizar e nem com o zero. Para a segunda posição podemos utilizar quatro algarismos, já que não podemos usar o algarismo que iniciou e nem o que terminou o número, mas podemos utilizar o zero. Assim temos:

Pelo principio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)

= 4X 4 X 4= 64 números

QUESTÃO

Quantos números ímpares de três algarismos podem formar os dígitos 0, 3, 5, 7, 8 e 9?

A) 120
B) 125
C) 130
D) 180
E) 100


RESPOSTA: A

Solução:

Neste problema devemos ter bastante atenção no fato de desejarmos números ímpares. Para um número ser ímpar, este deve ser terminado por um algarismo impar. No nosso caso as possíveis terminações são {3, 5, 7, 9}, portanto, temos quatro possibilidades para finalizar o número desejado. Para iniciar o número temos cinco possibilidades, uma vez que não podemos iniciar com o número zero. Para a segunda posição podemos utilizar qualquer um dos seis algarismos iniciais. Assim temos:

Pelo principio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)

= 5 X 6 X 4= 120 números

QUESTÃO

Quantos números de três algarismos podem formar os dígitos 0, 3, 5, 7, 8 e 9?

A) 120
B) 125
C) 130
D) 180
E) 100


RESPOSTA: D

Solução:

O único cuidado que devemos ter é quanto o algarismo zero, uma vez que um número não pode começar com o algarismo zero, por exemplo: 023 este é o número vinte e três, possui dois algarismos, já 120 é o número cento e vinte que possui três algarismos. Portanto, para iniciar temos cinco possibilidades, já para a segunda e terceira posição temos seis possibilidades para cada, uma vez que o zero poderá ser usado nestas posições. Assim temos:

Pelo principio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)

= 5 X 6 X 6= 180 números

QUESTÃO

Quantos números de três algarismos distintos podem formar os dígitos 3, 5, 7, 8 e 9?

A) 120
B) 125
C) 130
D) 60
E) 100


RESPOSTA: D

Solução:

O raciocínio para este problema é o mesmo do problema 1. A única diferença é que não podemos formar números como 999, 355, 788, pois estes números possuem algarismos repetidos. Em outras palavras se um algarismo foi escolhido para compor o número ele não poderá mais ser escolhido. Portanto temos cinco maneiras de escolher o primeiro algarismos, já para a escolha do segundo algarismo temos quatro possibilidades de escolha, uma vez que o primeiro algarismo não poderá mais ser escolhido, e três possibilidades para o terceiro algarismos pois dois algarismos já foram escolhidos. Assim temos:

Pelo principio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos distintos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)

= 5 X 4 X 3= 60 números

QUESTÃO

Quantos números de três algarismos podem formar os dígitos 3, 5, 7, 8 e 9?

A) 120
B) 125
C) 130
D) 60
E) 100


RESPOSTA: B

Solução:

Para formar um número de três algarismos devemos escolher três algarismos ente os cinco propostos. Observe que a ordem da escolha é de extrema importância. Por exemplo: Se escolhermos os números 3, 5 e 9 nesta ordem formará o número 359. No entanto se escolhermos os mesmos algarismos em ordem diferente formará outro número. Por exemplo: se escolhermos 5, 9 e 3 nesta ordem o número obtido será 593. Os dois números possuem os mesmos algarismos com ordens diferentes. Vemos, portanto, que este é um tipo de problema onde a ordem de escolha dos algarismos é de fundamental importância.

Devemos notar também que podemos formar números como 553, 788, 999 etc. Ou seja, números com algarismos repetidos.

Pelo principio fundamental da contagem a quantidade de números de três algarismos que poderemos formar será = (número de maneira de escolhermos o primeiro algarismo) x (O

número de maneiras de escolhermos o segundo) X (o número de maneiras de escolhermos o terceiro algarismos)

= 5 X 5 X 5= 125 números